Budai I László Balázsovits néven született 1922-ben Erzsébetfalván, a mai Pestszenterzsébeten. A Lampart csapatában mutatkozott be a másodosztályban az 1942-43-as szezonban. Első évében 9, a másodikban már 27 mérkőzésen lépett pályára. Gólerőssége hamar megmutatkozott, második NB2-es szezonjában már 17 gólig jutott. 1944 nyarán az Ungvári AC-hoz igazolt, a csonka bajnokságban két mérkőzésen lépett pályára, majd visszatért Pesterzsébetre. Az élvonalban az 1945-ös, csak budapesti csapatok számára kiírt bajnokságban debütált az EMTK csapatában.

Első mérkőzésére 1945. június 24-én került sor a Ganz TE ellen. Az Ady Endre utcai pályán 1500 néző várta a csapatokat.

A vendéglátó pesterzsébetiek a következő összeállításban futottak ki a pályára: Tóth - Lovas, Csizmadia - Szépföldi, Temes, Bihari - Szabó, Horváth, Budai, Kisutzky, Hrotkó II.

A vendég Ganz így kezdett: Gyuris - Szekeres, Sidó II - Pál, Várszegi, Török - Reiter II, Komáromi, Fehér, Ladányi, Szabó.

Az első gól a 10. percben esett, Budai és Várszegi harcolt a labdáért a Ganz kapujának előterében; előbbi győzött, és Gyuris mellett a bal sarokba lő. Egy perccel később már két gól szerepelt az újonc center neve mellett: a Horváthtól kapott labdát vágta a hálóba. A 31. percben Hrotkó, majd a 42-ben ismét Budai volt eredményes. A Népsport így írta le a találatot:

Hrotkó II éles lövése kipattan Gyuris kezéből, és a szemfüles Budai egy pillanat tört része alatt ott terem, és a földön fekvő kapus fölött nagy gólt lő. Nagyszerű csatárteljesítmény volt. Minden szezonban csak egyszer akad ilyen gól! A közönség lelkesen ünnepli a fiatal centert mesterhármasáért.

A szünet előtt még Horváth volt eredményes, majd a második félidőben Ladányi szépítését követően ismét Budai villant, negyedik gólját is megszerezve.

Lendülete töretlen maradt a Ganz elleni "visszavágó" mérkőzésre is, amit a következő napon rendeztek meg. A Kőbányai úton 2500 néző előtt lejátszott mérkőzésen az EMTK 4-2 arányban győzött, Budai két gólt jegyzett.

Szenzációs debütálásával végleg a középpályára szorította az EMTK korábbi középcsatárát, Dávid Ferencet. A folytatás némileg visszafogottabb lett; bár csaknem valamennyi hátralévő mérkőzésen pályára lépett, már csak két további gólt jegyezhetünk fel a neve mellé. Az 1945-46-os hosszú bajnokságot is az erzsébeti csapatban töltötte – 24 mérkőzésen 10 gólt szerzett, nem rajta múlott, hogy az EMTK nem tudott megragadni a legjobbak között.

Az év végén klubot váltott, a Kispesti AC-hoz került, ahol nem kisebb nevek játszottak a csatársorban, mint Nemes-Nehadoma, Mészáros, Puskás, Béres, vagy éppen Olajkár II. Az első néhány mérkőzésen itt is középcsatárként vették számításba, Mészárost azonban nem tudta kiszorítani, így hamarosan a jobbösszekötő pozíciójába tette őt edzője, id. Puskás Ferenc. Közel két évig játszott jobbösszekötőt, majd 1948-ban Mészáros távozásával újra a középcsatár posztjára került. Itt ismét ontani kezdte a gólokat, az 1949-50-es szezonban 19-ig, 1952-ben 14-ig jutott. 1952 végén Kalmár Jenő lett az időközben már Budapesti Honvédra átnevezett klub edzője, aki egyre kevesebbszer szavazott neki bizalmat, először Horváth Istvánt, aztán az 53-as szezonban Babolcsayt játszatta csatársor közepén.

Budai 1953 végén távozott is Kispestről, a Serényi Imre által vezetett Budapesti Vörös Meteorhoz szerződött. Érdekes, hogy akárcsak a Honvédban, itt sem ő volt az egyetlen Budai a csapatban – Kispesten Budai II (Bednarik) Lászlóval, a Vörös Meteorban Budai III (Beslity) Sándorral játszott együtt. Egy évet töltött a Csömöri úton, majd visszatért Pesterzsébetre, a harmadik osztályban szereplő Pesterzsébeti Vasashoz. Az 1956-os forradalmat követő osztályozóbajnokság után némileg követhetetlen módon – fúziók és játékjogok átadásának eredményeként – megalakult a Budapesti Petőfi SC, amely Pesterzsébetre tette a székhelyét, ráadásul a másodosztályba nyert besorolást. Több más EMTK-játékossal együtt Budai is ide került, edzője Szépföldi József, az egykori kiváló pesterzsébeti labdarúgó lett. Az új csapatnak kevés sikerélmény jutott, sereghajtóként zárta a szezont, és kiesett az NB II-ből. Budai további játékos-pályafutásáról nincsenek adataink, az évad végén feltehetően befejezte aktív karrierjét, hogy nemsokára egy igen egzotikus szerepben térjen vissza a labdarúgópályákra.

A Guineai Köztársaság labdarúgása jelenleg éppen az ország nagy részére kiterjedő szervezés állapotában van. A guineai ifjúsági és sport vezetők elmondták, milyen nagy feladatot vállaltak magukra ezen a téren a magyar edzők. Elismerően beszéltek Csanádi Ferenc és Szépvölgyi József munkájáról, akik két éven keresztül az alapozást végezték, s egyúttal a guineai válogatott létrehozását.

Most Zakariás József és Budai László foglalkozik a guineai válogatottal, de munkájuk sokkal szélesebb körre kiterjed. Harminc hónapra szerződtek – a guineaiak kívánsága szerint.

Budai és Zakariás részvételével több edzőtanfolyamot is szerveztek, legutóbb egy három hónaposat. Budai vezetésével a válogatott vidéken számos hírverő mérkőzést is játszott – nagy sikerrel. Ilyen körülmények között – a bajnoki rendszer kialakulásának kezdetén – a válogatott nem épülhetett a különböző csapatokra. Ezért létrehoztak két tizenhatos keretet: az A- és a B-válogatottat. Conakryban, a fővárosban naponta kétszer tartanak edzést Budai és Zakariás irányításával: reggel és késő délután. (Labdarúgás – Guineában. Labdarúgás, 1963/2.)

Budai I egykori edzője, Szépföldi József közreműködésével tehát az 1958-ban függetlenné vált Guineai Köztársaság labdarúgásának megszervezésére vállalkozott. Kisebb megszakítással – az 1968-as Mexikói olimpián például nem ő dirigálta a válogatottat – 1961-től 1971-ig dolgozott Guinea szövetségi kapitányaként (Szépföldi József követte a kapitányi poszton), majd a Hafia Conakry edzője lett. Csapatával óriási meglepetésre 1972-ben megnyerte a CAF által kiírt Bajnokok Ligáját.

Budai nem tért vissza Magyarországra, 1988. december 26-án hunyt el Conakryban, Guinea fővárosában.

Budai I László mérkőzés-statisztikája